By Prof.Dr. Helmut Neunzert, Dr. Winfried G. Eschmann, Dr. Arndt Blickensdörfer-Ehlers, Dipl.-Math. Klaus Schelkes (auth.)

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X (j ) _(1 -~1x ) +"'+~j_1X ( j - 1) +~j+1x (j +1) +"'+~kx (k) Also ist 0=~1x (1) Zuvor muB allerdings noch eine Frage geklart werden: +"'+~j_1X (j-1) . (j) (j+1) -1 x +~j+1x + ... +~kx (k) . (*) (*) Mit dem Ergebnis von Aufgabe 24 folgt nun, daB (x(l) , ... ,x(k» linear abhangig ist im Widerspruch zur Voraussetzung. Also ist kein x(j) uberflussig. ) 1. Der Fall £=k bedeutet, daB das gegebene k-Tupel bereits linear unabhangig ist. 2. Die bei den Zwischenschritten auftretenden (k-1)Tupel, (k-2)-Tupel usw.

0 Sie sehen, daB auch recht "hochdimensionale" Spharen bei einfachen physikalischen Problemen auftreten. DIE UNGLEICHUNG VON CAUCHY UNO SCHWARZ Die folgende Ungleichung ist ein grundlegendes Hilfsmittel fUr das Rechnen mit Skalarprodukten. B. 13) bzw. 45)). 10) EINE ANWENOUNG,- Die Ungleichung von Cauchy und Schwarz liefert eine einfache Moglichkeit, den Mindestabstand einer Ebene vom Nullpunkt zu berechnen. 41), Seite 18) - im Fall n=3 sind dies die Ebenen des lR 3 . 4)) ist. FUr x E Nc folgt aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung DIE UNGLEICHUNG VON CAUCHY UNO SCHWARZ (*) ,- Icl = l1 ;;; Iiallollxli FUr aIle v,WElRn gilt CauchySchwarzsche Ungleichung I I ;;; II v II • II w II (*) Augustin Louis Cauchy (1789-1875) ist einer der Begrunder der modernen Analysis.

Ein - und hier wird Sie vermutlich Ihre Vorstellungskraft wieder verlassen. Uinge eines Vektors im lRn, W~nke£ zwischen zwei Vektoren des lRn werden einfach Namen fUr gewisse reelle Zahlen sein, denen im Faile n = 3 die MaBzahlen (der anschaulichen Begriffe) von Lange und Winkel entsprechen. h. eine reelle Zahl zugeordnet: (v,w) 1~ElR • hat zwei Vorteile: Sie verkUrzt in vielerlei (2) Achtung: Das Skalarprodukt definiert keine Art Multiplikation im Sinne der Multiplikation re- die Schreib- und Bezeichnungsweisen und sie ermoglicht doch wieder Veranschaulichung, eller Zahlen: Das Produkt ist ein anderes ma- indem man sich die Verhal tnisse im Falle n = 3 thematisches Objekt (namlich eine Zahl) als die klar macht.

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